Matemáticas en el Origami
Ya desde la misma invención del papel se estaba haciendo ciencia sin saberlo, por casualidad, pero la tecnología, buscaba por necesidad un producto flexible y duradero para escribir. Tratando de encontrar sus funcionalidades le inspiró al hombre este invento.
El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo del aspecto científico del origami, podemos mencionar a los aficionados que se dedican a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel y las hipótesis a punto de ser teoremas, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial, en tanto se incentive al practicante a crear sus propios modelos, se estará despertando y fomentando la curiosidad científica, ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.
Fuente: wikipedia
jueves, 20 de agosto de 2009
Un lugar para aprender y recordar
Navegando por ahí, encontré este lugar que me encantó, donde están libros que muchos teníamos cuando eramos chicos y que nos enseñaban tantas cosas de forma práctica y divertida.
Los invito coordialmente a pasar por http://www.paraquenoseolviden.com van a encontrar muchas cosas para que los chicos aprendan contenidos de matemática.
Los invito coordialmente a pasar por http://www.paraquenoseolviden.com van a encontrar muchas cosas para que los chicos aprendan contenidos de matemática.
Para Liliana y su hijito de seis años. Primera parte
Hace varios días Liliana me dejo un mensajito pidiendo algunas actividades para compartir con su hijo, bueno demore un poco en poder postear esto, pero acá va un adelanto, esta será la primera parte y seguiré escribiendo más cosas-
Mady
• Pueden dibujar sobre distintos soportes, hojas blancas de distintos tamaños y colores, también pueden incluir distintas texturas en las hojas como una superficie rugosa o satinada. Pueden elegir marcadores, crayones, óleos pastel, lápiz de madera y otros.
• Pintar con témpera, usando los dedos, o hisopos, también algún palito o moldes que le permitan usarlos como sellos.
• Hacer un mural sobre una superficie vertical con pinceletas y témperas que no estén muy aguadas para no chorrear).
• Pintar con los dedos y con los pies sobre una superficie horizontal de papel, busquen siempre hojas que puedan reciclar, que estén usadas de un lado y del otro estén disponibles para usar, utilicen témperas y sobre todo ropa que se pueda manchar
• Hacer un collage con varias revistas, pueden elegir un tema o ir inventado un cuento a medida que van armando el mismo.
• Pueden dibujar en una mesa de un color oscuro con polenta y sal, ponen estos elementos en botellitas de plástico con la tapa que tenga un agujero de modo que puedan salir los materiales, es una actividad muy grata, pueden ir caminado alrededor de la mesa, también pueden tener una botella en cada mano e ir dibujando
Mady
• Pueden dibujar sobre distintos soportes, hojas blancas de distintos tamaños y colores, también pueden incluir distintas texturas en las hojas como una superficie rugosa o satinada. Pueden elegir marcadores, crayones, óleos pastel, lápiz de madera y otros.
• Pintar con témpera, usando los dedos, o hisopos, también algún palito o moldes que le permitan usarlos como sellos.
• Hacer un mural sobre una superficie vertical con pinceletas y témperas que no estén muy aguadas para no chorrear).
• Pintar con los dedos y con los pies sobre una superficie horizontal de papel, busquen siempre hojas que puedan reciclar, que estén usadas de un lado y del otro estén disponibles para usar, utilicen témperas y sobre todo ropa que se pueda manchar
• Hacer un collage con varias revistas, pueden elegir un tema o ir inventado un cuento a medida que van armando el mismo.
• Pueden dibujar en una mesa de un color oscuro con polenta y sal, ponen estos elementos en botellitas de plástico con la tapa que tenga un agujero de modo que puedan salir los materiales, es una actividad muy grata, pueden ir caminado alrededor de la mesa, también pueden tener una botella en cada mano e ir dibujando
domingo, 12 de abril de 2009
jueves, 23 de octubre de 2008
NOCIÓN DEL ESPACIO
La construcción de esta noción en el niño siempre la da la vivencia en espacios concretos: su casa, su calle, su cuarto, etc. Pero esa noción se desarrolla más rápidamente que la de tiempo, porque tiene referencias más sensibles.
Jean Piaget dice que de 5 a 8 años, el niño empieza a dominar el ambiente en que vive y es capaz de imaginar condiciones de vida distintas de las que le rodean.
Apenas tiene experiencia. Posee unos intereses concretos. Su pensamiento es intuitivo y egocéntrico. Sólo posee una idea concreta del espacio. Define las cosas por su uso.
En su cotidianeidad el niño junto con su adulto significativo pueden realizar actividades simples que lo ayudarán a desarrollar esta noción como por ejemplo: Actividades concretas y observaciones intuitivas sobre lo que le rodea, ya que esto le interesa. Enseñarles a encontrar puntos de referencia (cerros, edificios, árboles visibles).
Así el niño puede reconocer el espacio en la medida en que aprende a dominarlo. Respecto de esto encontramos que Baldwin, Stern , distinguen en los niños distinto tipos de espacios: un "espacio primitivo" o "espacio bucal", un "espacio próximo o de agarre" y un "espacio lejano", que el niño aprende a dominar y que paulatinamente va descubriendo , a medida que aprende a moverse por sí solo. (El valor del movimiento)
En conclusión se puede decir que las nociones espaciales reflejan sensaciones corporales y estados emocionales y así encontramos en el saber del propio cuerpo el espacio más próximo a habitar, a sentir y conocer.
La transformación en el modo de ver el espacio es personal y con tiempos propios y responde a niveles de maduración que no pueden ser forzados. De nada sirve proponer desde la visión del adulto determinadas soluciones espaciales, pues estas, para que sean significativas para los niños, tienen que partir de descubrimientos personales y consideramos que en este punto esta comprometido el juego como vía regia a nuevos conocimientos.
Entonces podemos afirmar que se puede ayudar a ampliar la conciencia en relación al espacio circundante con actividades y juegos que les resulten ligados al disfrute y los confronten con desafíos diversos.
martes, 14 de octubre de 2008
Por Adrián Paenza
Ahora que se ha puesto de moda hablar sobre La Teoría de Juegos*, vale la pena plantear alguno de los problemas más característicos y atractivos que hay. El que sigue, justamente, es un desafío precioso y sutil. Es, además, muy interesante para pensar.
Supongamos que hay dos personas que van a jugar al siguiente juego. A cada uno de ellos se le va a colocar en la frente un número natural (es decir, se llaman naturales los números 1, 2, 3, 4, 5... etcétera).
Sin embargo, la particularidad es que los números van a ser consecutivos. Por ejemplo, el 14 y el 15, o el 173 y el 174, o el 399 y el 400.Obviamente, no se les dice qué número tiene cada uno, pero cada uno, a su vez, puede ver el número del otro.
Gana el juego aquel que es capaz de decir qué número tiene escrito en la frente, pero dando una explicación de por qué dice lo que dice.Se supone que ambos jugadores razonan perfectamente y sin errores, y esto es un dato no menor: saber que los dos jugadores tienen la misma capacidad de razonamiento y que no cometen errores es crucial para el juego (aunque no lo parezca).
La pregunta es: ¿es posible que alguno de los dos competidores pueda ganar el juego? Es decir, ¿podrá en algún momento uno de ellos decir “yo sé que mi número es ‘n’”?Por ejemplo: si usted jugara contra otra persona, y usted viera que en la frente de su rival hay pintado un número “1”, su reacción debería ser inmediata.
Ya ganó, porque usted podría decir: “Tengo el ‘2’”. Usted puede afirmar con certeza que su número es el “2”, porque como no hay números más chicos que 1 y ése es justo el que tiene el otro competidor, usted, inexorablemente tiene el “2”.Este sería el ejemplo más sencillo. Ahora, planteemos uno un poco más complicado. Supongamos que usted ve que la otra persona tiene pintado el “2”. Si usted se dejara llevar por las reglas que le fueron explicadas, en principio, lo escribo otra vez, en principio, usted no podría decir nada con certeza. Porque, en principio, usted podría tener o bien el “1”, o bien el “3”.Sin embargo, aquí interviene otro argumento: si su rival, que es tan perfecto como usted, que razona tan rápido como usted, que puede elaborar ideas exactamente igual que usted, no dijo nada hasta ahí, es porque él no está viendo que usted tiene el “1”. Si no, él ya hubiera gritado que tiene el “2”. Pero como no dijo nada, esto significa que usted no tiene el “1”. Por lo tanto, aprovechando que él no dice nada, es usted el que habla y dice: “Yo tengo el ‘3’”.Y cuando le pregunten, “¿y usted cómo sabe, si usted está viendo que él tiene el ‘2’?, ¿qué otros argumentos usó?”, usted contestará: “Vea, yo vi que él tenía el ‘2’, pero como él no dijo nada, esto significa que yo no tenía el ‘1’ porque, si no, él hubiera sabido inmediatamente qué número tenía”. Y punto.Es decir, en la Teoría de Juegos, no importa solamente lo que hace usted, o lo que usted ve, sino también importa (y mucho) lo que hace el otro.
Aprovechando lo que hace (o, en este caso, lo que no hizo el otro, que es también una manera de hacer), es que usted pudo concluir qué número tenía.Ahora, podríamos seguir.Hagamos un paso más. Si usted viera que el otro tiene un “3” en la frente, entonces eso significaría que usted tiene el “2” o el “4”. Pero si usted tuviera el “2”, y su contrincante está viendo que usted lo tiene (al “2”) pero usted no habla, no dice nada rápido, entonces esto le está indicando a él que él no tiene el “1”. Si así fuera, su rival diría, “Yo tengo el ‘3’”.Y aquí está el punto. Como él no dijo nada (su rival), eso significa que usted no tiene el “2” sino que tiene el “4”. Y usted se apura y grita: “Yo tengo el ‘4’”. Y gana.Con esta misma idea, uno podría avanzar aún más y usar números cada vez más grandes. ¿Podrá ganar alguno entonces?
La pregunta queda abierta.Este tipo de argumentos (llamados inductivos) requieren –como se ve– de razonamientos hilvanados, finos y sutiles, pero todos comprensibles si uno no se pierde en la maraña de las letras. Le propongo, por lo tanto, que se entretenga un rato pensándolo solo.Aunque no parezca, todo esto también es hacer matemática.
La discusión queda centrada entonces en cuán rápido razonan los jugadores y cuánto tiempo debería esperar para gritar su número o hacer una declaración que se basa en lo que el otro no dijo o no declaró.Uno podría suponer que lo que quedó aquí descripto es una paradoja, porque aparece como posible que sólo sabiendo el número del otro y con la regla de que ambos participantes tienen números consecutivos, uno pueda deducir el número propio.
Lo interesante es que los datos con los que se cuenta son más de los que uno advierte en principio. Los silencios del otro, o el tiempo que tarda en no decir lo que debiera si él viera lo que usted podría tener, le están dando una información adicional a usted.Y en algún sentido, es singular también cómo el conocimiento va cambiando con el paso del tiempo.
En la vida real, uno debería aplicar también este tipo de razonamientos, que se basan no sólo en lo que uno percibe sino también en lo que hace (o no hace) el otro.*
Los ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el israelí Robert J. Aumann y el norteamericano Thomas C. Shelling, lo consiguieron gracias a sus aportes a la Teoría de Juegos. La propia Academia Sueca, encargada de decidir a quiénes condecora, subrayó: “¿Por qué algunos grupos de individuos, organizaciones o países tienen éxito en promover cooperaciones y otros sufren y entran en conflicto?”. Tanto Aumann como Schilling han usado en sus trabajos la Teoría de Juegos para explicar conflictos económicos como la batalla de precios y situaciones conflictivas que llevan –a algunos de ellos– a la guerra.Schelling dijo que no conocía personalmente al coganador, pero que mientras “él se dedica a producir avances en la Teoría de Juegos, yo soy quien aprovecha lo que él hace para aplicarlo en mi trabajo. Es decir: él produce, yo uso lo que él hace”. // Fuente:http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-63119-2006-02-15.html
Supongamos que hay dos personas que van a jugar al siguiente juego. A cada uno de ellos se le va a colocar en la frente un número natural (es decir, se llaman naturales los números 1, 2, 3, 4, 5... etcétera).
Sin embargo, la particularidad es que los números van a ser consecutivos. Por ejemplo, el 14 y el 15, o el 173 y el 174, o el 399 y el 400.Obviamente, no se les dice qué número tiene cada uno, pero cada uno, a su vez, puede ver el número del otro.
Gana el juego aquel que es capaz de decir qué número tiene escrito en la frente, pero dando una explicación de por qué dice lo que dice.Se supone que ambos jugadores razonan perfectamente y sin errores, y esto es un dato no menor: saber que los dos jugadores tienen la misma capacidad de razonamiento y que no cometen errores es crucial para el juego (aunque no lo parezca).
La pregunta es: ¿es posible que alguno de los dos competidores pueda ganar el juego? Es decir, ¿podrá en algún momento uno de ellos decir “yo sé que mi número es ‘n’”?Por ejemplo: si usted jugara contra otra persona, y usted viera que en la frente de su rival hay pintado un número “1”, su reacción debería ser inmediata.
Ya ganó, porque usted podría decir: “Tengo el ‘2’”. Usted puede afirmar con certeza que su número es el “2”, porque como no hay números más chicos que 1 y ése es justo el que tiene el otro competidor, usted, inexorablemente tiene el “2”.Este sería el ejemplo más sencillo. Ahora, planteemos uno un poco más complicado. Supongamos que usted ve que la otra persona tiene pintado el “2”. Si usted se dejara llevar por las reglas que le fueron explicadas, en principio, lo escribo otra vez, en principio, usted no podría decir nada con certeza. Porque, en principio, usted podría tener o bien el “1”, o bien el “3”.Sin embargo, aquí interviene otro argumento: si su rival, que es tan perfecto como usted, que razona tan rápido como usted, que puede elaborar ideas exactamente igual que usted, no dijo nada hasta ahí, es porque él no está viendo que usted tiene el “1”. Si no, él ya hubiera gritado que tiene el “2”. Pero como no dijo nada, esto significa que usted no tiene el “1”. Por lo tanto, aprovechando que él no dice nada, es usted el que habla y dice: “Yo tengo el ‘3’”.Y cuando le pregunten, “¿y usted cómo sabe, si usted está viendo que él tiene el ‘2’?, ¿qué otros argumentos usó?”, usted contestará: “Vea, yo vi que él tenía el ‘2’, pero como él no dijo nada, esto significa que yo no tenía el ‘1’ porque, si no, él hubiera sabido inmediatamente qué número tenía”. Y punto.Es decir, en la Teoría de Juegos, no importa solamente lo que hace usted, o lo que usted ve, sino también importa (y mucho) lo que hace el otro.
Aprovechando lo que hace (o, en este caso, lo que no hizo el otro, que es también una manera de hacer), es que usted pudo concluir qué número tenía.Ahora, podríamos seguir.Hagamos un paso más. Si usted viera que el otro tiene un “3” en la frente, entonces eso significaría que usted tiene el “2” o el “4”. Pero si usted tuviera el “2”, y su contrincante está viendo que usted lo tiene (al “2”) pero usted no habla, no dice nada rápido, entonces esto le está indicando a él que él no tiene el “1”. Si así fuera, su rival diría, “Yo tengo el ‘3’”.Y aquí está el punto. Como él no dijo nada (su rival), eso significa que usted no tiene el “2” sino que tiene el “4”. Y usted se apura y grita: “Yo tengo el ‘4’”. Y gana.Con esta misma idea, uno podría avanzar aún más y usar números cada vez más grandes. ¿Podrá ganar alguno entonces?
La pregunta queda abierta.Este tipo de argumentos (llamados inductivos) requieren –como se ve– de razonamientos hilvanados, finos y sutiles, pero todos comprensibles si uno no se pierde en la maraña de las letras. Le propongo, por lo tanto, que se entretenga un rato pensándolo solo.Aunque no parezca, todo esto también es hacer matemática.
La discusión queda centrada entonces en cuán rápido razonan los jugadores y cuánto tiempo debería esperar para gritar su número o hacer una declaración que se basa en lo que el otro no dijo o no declaró.Uno podría suponer que lo que quedó aquí descripto es una paradoja, porque aparece como posible que sólo sabiendo el número del otro y con la regla de que ambos participantes tienen números consecutivos, uno pueda deducir el número propio.
Lo interesante es que los datos con los que se cuenta son más de los que uno advierte en principio. Los silencios del otro, o el tiempo que tarda en no decir lo que debiera si él viera lo que usted podría tener, le están dando una información adicional a usted.Y en algún sentido, es singular también cómo el conocimiento va cambiando con el paso del tiempo.
En la vida real, uno debería aplicar también este tipo de razonamientos, que se basan no sólo en lo que uno percibe sino también en lo que hace (o no hace) el otro.*
Los ganadores del Premio Nobel de Economía 2005, el israelí Robert J. Aumann y el norteamericano Thomas C. Shelling, lo consiguieron gracias a sus aportes a la Teoría de Juegos. La propia Academia Sueca, encargada de decidir a quiénes condecora, subrayó: “¿Por qué algunos grupos de individuos, organizaciones o países tienen éxito en promover cooperaciones y otros sufren y entran en conflicto?”. Tanto Aumann como Schilling han usado en sus trabajos la Teoría de Juegos para explicar conflictos económicos como la batalla de precios y situaciones conflictivas que llevan –a algunos de ellos– a la guerra.Schelling dijo que no conocía personalmente al coganador, pero que mientras “él se dedica a producir avances en la Teoría de Juegos, yo soy quien aprovecha lo que él hace para aplicarlo en mi trabajo. Es decir: él produce, yo uso lo que él hace”. // Fuente:http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-63119-2006-02-15.html
lunes, 29 de septiembre de 2008
Los números: ¡¡Gracias querida Coca por tu aporte!!
66 Los N Meros
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domingo, 14 de septiembre de 2008
¡Taller de matemáticas!
1..2..3..¡A JUGAR!
1..2..3..¡A JUGAR!
Desde el taller nuestro propósito es rescatar esta mirada, para que los niños comiencen de una manera entretenida y amena a prepararse para contar con estas valiosas herramientas, en un ambiente cálido y comprometido.
A través de las experiencias y vivencias lúdicas, dejar registro y promover el placer por aprender, descubrir y re-descubrir.
El taller está dirigido a niños y niñas de 4, 5 y 6 años.
Me lo contaron y lo olvidé.
Lo vi y lo entendí.
Lo hice y lo aprendí.
(Confucio)
(Confucio)
Estamos en la Biblioteca Alberdi, Sarmiento 2706, en Caseros.Telefonos: 4759-0130 /
15-65605802 / 15-49492220
martes, 9 de septiembre de 2008
lunes, 8 de septiembre de 2008
Numeros por Adrián Paenza¿Qué incidencia tienen los números en su vida? Sí, los números. ¿Qué relación tiene usted con ellos? ¿Cuánto le importan? ¿Cuánto los necesita? ¿Cuánto los usa?Acá abajo, voy a escribir una lista (con varios números). En principio, no hay ninguna relación entre ellos, pero le pido lo siguiente: no los lea todos rápidamente. Léalos uno por uno y tómese un tiempo para pensar qué le significa cada uno (si es que le significa algo).En todo caso, la/lo invito a que, cuando recorra la lista, vaya imaginando o preguntándose si los puede poner en algún contexto en el que cada uno tenga algún sentido para usted, si los puede asociar con algo. Después, más abajo, yo le cuento lo que me representan a mí.
Acá va.
- 1492
- 3,1416
- 365
- 1978 y 1986
- 911
- 29-
1810
- 100
- 24
- 0
- 10
- 007
- 1
- 18
- 9
- 40.000.000
- 2008
- 30
- 19141918 y 19391945
- 36.7
- 90
- 1816
- 54
- 2
- 180
- 1789
- 13
- 360
- 11
- 60
- 1812
- 69
- 6.300.000.000
- 2001
- 666
- 255
- 97
- 14, 22 y 48
- 1984
Ahora, escribo algunas reflexiones mías sobre cada uno de ellos, pero la idea original sería que lo haga usted, y no yo.- 1492 (descubrimiento de América)- 3,1416 (aproximación al número pi)- 365 (días que tiene un año)- 1978 y 1986 (Argentina campeón del mundo en fútbol)- 911 (número asociado al ataque a las Torres Gemelas en Nueva York)- 29 (días de los ñoquis)- 1810 (Revolución de Mayo)- 100 (grados, hierve el agua; metros llanos)- 24 (horas que tiene un día)- 0 (la nada. La presencia de la ausencia. Temperatura de congelamiento del agua)- 10 (Maradona. Mandamientos)- 007 (James Bond)- 1 (El número 1... ¿hace falta explicar algo más?)- 18 (adultez)- 40 (mazo de cartas españolas, “las cuarenta” en el “tute”)- 9 (el “centerforward”... ¿o murió al amanecer?)- 40.000.000 (de argentinos)- 2008 (el año actual, pero serviría para cualquier año en el que usted esté leyendo este artículo)- 30 (días que tienen todos los meses, salvo febrero; además, días de pago... no para todos, claro)- 1914-1918 y 1939-1945 (Primera y Segunda Guerra Mundial)- 36.7 (de aquí en más, empieza la fiebre)- 90 (ángulo recto)- 1816 (año de la independencia argentina)- 54 (código telefónico de la Argentina)- 2 (¿cómo no poner al dos?)- 180 (en grados, lo antipodal, lo opuesto)- 1789 (Revolución Francesa)- 13 (la yeta, martes o viernes, pero yeta al fin... para los que creen)- 360 (una vuelta completa)- 11 (un equipo de fútbol)- 60 (minutos, segundos. La línea más popular de colectivos)- 1812 (obertura de Tchaicovsky... ¿muy sofisticada?)- 69 (éste es menos sofisticado... ¿necesita explicación?)- 110 (la guía)- 6.300.000.000 (habitantes de la Tierra)- 2001 (Odisea del Espacio)- 666 (el diablo)- 255 (25 de Mayo, Revolución de Mayo)- 97 (9 de Julio, independencia)- 14, 22 y 48 (el borracho, los patitos y “el morto chi parla”, en la quiniela)- 1984 (famosa novela de George Orwell)Obviamente, la lista no es exhaustiva –ni mucho menos–, pero pretende exhibir que tenemos una relación cotidiana y constante con una cantidad de números que nos significan cosas.No agregué (simplemente porque no los sé) los siguientes números que identifican a una persona aún más, y que para cada uno son distintos:1) número del DNI2) número de pasaporte3) número de legajo (si trabaja en alguna gran empresa o repartición del Estado)4) dirección de su domicilio5) código postal6) número de teléfono de su casa7) número de su celular8) las líneas de colectivo que le quedan familiares9) aniversarios, cumpleaños, etc.También estoy seguro de que todo el mundo sabe que las 4 y las 16 son lo mismo, igual que las 21 y las 9.No se me escapa (igual que a usted) que si escribo las 7 en lugar de los 7, es porque ese número está ligado con “las 7 de la mañana” y el sonido de la alarma... y la mayoría de los chicos lo conocen bien... y los adultos también.Y estoy seguro de que cada uno de ustedes, mientras está leyendo esto, debe estar pensando: ¿y cómo no incluyó tal o cual?Los números nos tiene rodeados. Estamos impregnados de ellos. Los necesitamos, para medir (el peso, el tiempo, la altura, la distancia, el colesterol, la temperatura, la superficie, el volumen, el sueldo, un precio, la humedad, la presión, el pulso, los resultados en cualquier deporte, los records en esos mismos deportes, ...¿quiere seguir usted?)No pretendo sacar ninguna conclusión. Sólo quiero describir.¿No es increíble que los números formen un sistema tan poderoso que impregna e infiltra nuestras vidas como ninguna otra cosa?Para terminar, haga la siguiente prueba: escriba los números que figuran arriba y póngalos en inglés. Y después, sucesivamente en: francés, portugués, italiano, alemán, danés, holandés, noruego, incluso en chino... ¿Qué? ¿No sabe todos estos idiomas? No importa. El de los números es un lenguaje –casi– universal. No necesita traducción.
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